Abstrakte Schwarze Löcher dienen in der Stringtheorie als Gegenstand der Forschung. Als abstrakt werden sie bezeichnet, weil sie dabei als Lösungen bestimmter mathematischer Gleichungen betrachtet werden. Man kann für diese abstrakten schwarzen Löcher eine sogenannte erzeugende Funktion konstruieren. Besitzen die schwarzen Löcher nur ein Zentrum, so treten hierbei schöne modulare Symmetrien auf.
Bisher war bekannt, dass diese  Symmetrien nicht mehr vollständig sind, wenn das schwarze Loch mehr als ein Zentrum besitzt: Es treten Brüche auf. Einer Kölner Forschergruppe um Professorin Dr. Kathrin Bringmann vom Mathematischen Institut der Universität zu Köln ist es nun gelungen, die Funktionen und die Symmetriebrüche besser zu verstehen.

Dafür mussten die Wissenschaftler sie in zwei Teile zerlegen: Einer, der von nur einem Zentrum kommt und ein anderer, der von zwei Zentren stammt. Sie fokussierten ihre Arbeit dabei auf verwandte Funktionen, die von erzeugenden Funktionen mit nur zwei Zentren kommen. Bringmann und ihre Kollegen stießen dabei auf Funktionen, bei denen nicht einmal der Definitionsbereich klar ist. Die Kölner Mathematikerin entdeckte nun auch hier Symmetrien. Zusammen mit Ihren Kollegen Prof. Dr. Thomas Creutzig und Dr. Larry Rolen gelang es ihr, hier geeignete Zerlegungen für die zugehörigen erzeugenden Funktionen zu finden. Die Forschungen wurden durch einen ERC Grant (European Research Council) möglich gemacht, der seit Anfang 2014 läuft.

Generell sind modulare Symmetrien in vielen Bereichen der Mathematik von großer Bedeutung. Man kann solche Symmetrien als Verallgemeinerung der elementaren Symmetrien der Kosinus- und Sinus-Funktionen sehen, die wohl jeder aus dem Mathematik-Unterricht kennt. Kathrin Bringmann erklärt: „Mich hat immer interessiert, wo gewisse Symmetrien sind, die immer wieder auftreten. Wir haben uns angeschaut, was für Symmetrien diese Funktionen haben.“

Bringmann, Creutzig und Rolen schauten sich eine neue Klasse dieser Funktionen an, die bisher unverstanden waren. Hier treten sogenannte Quantummodulformen auf, die erstmalig von Don Zagier entdeckt wurden. Um die Struktur der erzeugenden Funktion zu verstehen, suchten die Kölner Wissenschaftler nach einer Differentialgleichung, die die Funktionen zerlegt. Die Mathematiker fanden dabei heraus, dass die Brüche in den Symmetrien immer dann auftraten, wenn von zwei Zentren des Schwarzen Loches ausgegangen werden konnte. „Die Grundidee ist: Wenn man nur ein Zentrum hat, dann treten meistens Symmetrien auf“, so Kathrin Bringmann. „Wenn man zwei Zentren hat, dann entstehen gebrochene Symmetrien - Schwarze Löcher mit mehreren Zentren versteht noch keiner.“

Ursprünglich hatten Physiker vermutet, dass schwarze Löcher eine einfache Struktur haben. 1970 haben aber Jacob Bekenstein und Stephen Hawking dann erkannt, dass sie Entropie haben und damit über eine Thermodynamik verfügen. Andrew Strominger und Cumrun Vafa zogen dann erstmalig die Verbindung zu Modulformen. Modulformen sind Funktionen, die die besagten internen Symmetrien aufweisen. Die aktuelle Forschung in Arbeiten von Manschott/Moore, Dabolkar/Murthy/Zagier zeigte aber nun, dass diese Symmetrie Brüche aufweisen kann und man die entsprechenden Funktionen vervollständigen muss, um dies zu reparieren.

Nun zeigt die Forschungsgruppe um Bringmann, dass neue Objekte-Quantummodulformen, benötigt werden. „Quantummodulformen werden noch nicht wirklich verstanden“, erklärt Dr. Larry Rolen. Aufbauend auf Arbeiten von Attkin, Garvan und Zwegers hat er die Differentialgleichung entdeckt, die die Funktionen zerlegt.

Die Kölner Mathematiker möchten jetzt an einer Verallgemeinerung ihrer Erkenntnisse arbeiten. Anwendungsmöglichkeiten gibt es sowohl in der Physik als auch in der Mathematik, so Rolen: “Damit haben wir jetzt eine vollkommen neue Klasse von Funktionen, die wir erforschen können.“
Die Forscher stehen im Austausch mit Physikern, die schon Anwendungen  der Zerlegungen für die Berechnungen wichtiger Integrale sehen.  

Bei Rückfragen:

Professorin Dr. Kathrin Bringmann
Tel.: 0221/470-4334
kbringmamath.uni-koeln.de