Punktkonfigurationen und Quantisierung

Punktkonfigurationen spielen in vielen Bereichen der Mathematik und der mathematischen Physik eine zentrale Rolle und treten sowohl als deterministische als auch als zufällige Objekte auf. Sie kommen in vielfältigen Kontexten vor, wie beispielsweise in physikalischen Teilchensystemen, Perkolationsmodellen, der Approximationstheorie, durch partielle Differentialgleichungen beschreibbaren dynamischen Systemen sowie bei Optimierungsproblemen der diskreten Geometrie, darunter Kugelpackungen und Gitterstrukturen. Obwohl viele Anwendungen probabilistischer Natur sind, ergeben sich deterministische Konfigurationen oft als Grenzwerte oder optimale Lösungen, wobei Werkzeuge aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Zahlentheorie bei ihrer Analyse eine entscheidende Rolle spielen. 

Dieser Forschungsantrag konzentriert sich auf die Untersuchung von Punktkonfigurationen über ein breites Spektrum hinweg, das von empirischen Punktwolken und Zufallsmodellen bis hin zu hochoptimierten und dynamisch generierten Konfigurationen reicht. Ein wichtiges verbindendes Thema ist ihre tiefe Verbindung zur Quantisierung, einem aus der Quantenphysik stammenden Konzept, das den Übergang von klassischen zu Quantensystemen über den semiklassischen Grenzfall beschreibt. 
In der Mathematik verbindet die Quantisierung komplexe Geometrie, Wahrscheinlichkeitstheorie und Analysis, insbesondere durch die Berezin-Toeplitz-Quantisierung und damit verbundene geometrische Strukturen. 

Zufällige Punktkonfigurationen, wie beispielsweise Nullstellen zufälliger holomorpher Schnitte oder Beta-Ensembles, approximieren deterministische Gleichgewichtsmaße im semiklassischen Bereich. Diese Phänomene verknüpfen probabilistisches Verhalten mit geometrischer Stabilität und kanonischen Strukturen wie Kähler-Einstein-Metriken.
Zu den zentralen Werkzeugen in diesem Rahmen gehören Christoffel-Darboux-Kerne und Toeplitz-Operatoren, die in der Approximationstheorie, der Spektralanalyse und bei Gleichverteilungsproblemen von grundlegender Bedeutung sind. 

Insgesamt zielt der Antrag darauf ab, mehrere Forschungsrichtungen – Approximationstheorie, diskrete Geometrie, Perkolation, PDE-gesteuerte Dynamik und geometrische Quantisierung – in ein kohärentes Programm zu integrieren.